二项分布 统计学定义 医学领域定义 数学术语

统计学定义

在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n=1时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显着性差异的二项试验的基础。当n充分大,nP很小时,二项分布近似于参数为λ=nP的泊松分布,计算结果表明,在X区间[0,nP+2σ]内,泊松拟合值才能近似代替二项分布数据。[1]

医学领域定义

考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（π）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoullitrial）。如果进行n次伯努利试验，取得成功次数为X（X=0,1,…，n）的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：

P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)

式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomialcoefficient）。

所以的含义为：含量为n的样本中，恰好有X例阳性数的概率。

概念

二项分布（BinomialDistribution），即重复n次的伯努利试验（BernoulliExperiment），用ξ表示随机试验的结果。如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是

P(ξ=K)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),其中C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)注意！:第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。

那么就说这个属于二项分布。

其中P称为成功概率。

记作ξ~B(n,p)期望：Eξ=np

方差:Dξ=npq

其中q=1-p

证明:由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p.因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和.

设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).

因X(k)相互独立,所以期望：E(X)=E[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np.

方差：D(X)=D[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np(1-p).

证毕.

以上证明摘自高等教育出版社《概率论与数理统计》第四版

如果

1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；

2．每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关;

3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。

在这试验中,事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布.二项分布可以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率.

若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k).C(n,k)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数。

应用条件

1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。

2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。

3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。

性质

1．二项分布的均数和标准差在二项分布资料中，当π和n已知时，它的均数μ及其标准差σ可由式（7.3）和（7.4）算出。

μ=nπ（7.3）

σ=（7.4）

若均数和标准差不用绝对数表示，而是用率表示时，即对式（7.

3）和（7.4）分别除以n，得

μp=π（7.5）

σp=（7.6）

σp是样本率的标准误的理论值，当π未知时，常用样本率p作为π的估计值，式（7.6）变为：

sp=（7.7）

2．二项分布的累计概率（cumulativeprobability）常用的有左侧累计和右侧累计两种方法。从阳性率为π的总体中随机抽取含量为n的样本，则

（1）最多有k例阳性的概率

(7.8)

（2）最少有k例阳性的概率

（7.9）

其中，X=0,1,2,…，k,…，n。

3．二项分布的图形已知π和n，就能按公式计算X=0，1，…，n时的P（X）值。以X为横坐标，以P（X）为纵坐标作图，即可绘出二项分布的图形，如图7.1，给出了p=0.5和p=0.3时不同n值对应的二项分布图。

二项分布的形状取决于π和n的大小，高峰在m=np处。当p接近0.5时，图形是对称的；p离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋于对称。当n→∞时，只要p不太靠近0或1，特别是当nP和n(1－P)都大于5时，二项分布近似于正态分布。关于二项分布近似为正态分布的判定条件，不同着述中存在争议，在甘怡群《心理与行为科学统计》中：当np>10且n（1-p）>10时，二项分布可以近似为正态分布（第72页）；在张厚粲《现代心理与教育统计学》中：当p（1-p）且n（1-p）≥5时，二项分布可以近似为正态分布（第178页）。

π=0.5时,不同n值对应的二项分布

π=0.3时，不同n值对应的二项分布