一阶导数 定义 解释 微积分中的概念

定义

导数derivative由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。

如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米/小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。

为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为x=f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0]，当t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0到t1这段时间内的运动变化情况，自然就把极限[f(t1)-f(t0)/t1-t0]作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。

解释

一般地，假设一元函数y=f(x)在x0点的附近(x0－a，x0+a)内有定义，当自变量的增量Δx=x－x0→0时函数增量Δy=f（x）－f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率)，记作f′（x0），即

f′（x0）=Δy/Δx(Δx→0)。

若极限为无穷大，称之为无穷大导数。

若函数f在区间I的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作f′，称之为f的导函数，简称为导数。

函数y=f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：表示曲线l在P0〔x0，f（x0）〕点的切线斜率。

导数是微积分中的重要概念。

当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。[1]

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。

y=f(x)的导数f′就是f的一阶导数。

变化率

一阶导数表示的是函数的变化率，最直观的表现就在于函数的单调性。

定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶导数，那么，

（1）若在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递增；

（2）若在(a,b)内f’(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递减；

（3）若在(a,b)内f'(x)=0,则f(x)在[a,b]上的图形是平行（或重合）于x轴的直线，即在[a,b]上为常数。

函数的导数就是一点上的切线的斜率。当函数单调递增时，斜率为正，函数单调递减时，斜率为负。